Dự đoán đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1.

Đặt x = 1 + a ; y = 1 + b , ( a , b \(\in\) R ). Từ giả thiết suy ra z = 1 - a - b.

Ta có: 
\(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\)\(=\left(1+a\right)^2+\left(1+b\right)^2+\left(1-a-b\right)^2+\left(1+a\right)\left(1+b\right)+\left(1+b\right)\left(1-a-b\right)+\left(1-a-b\right)\left(1+a\right)=\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}+6\ge6.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi.

\(b=0;a+\frac{b}{2}=0\Leftrightarrow a=0;b=0\Leftrightarrow x=y=z=1.\)

Naruto nhận nè bạn.

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có 

\(\left(a+b+c\right)^2\ge\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\Rightarrow a+b+c\ge3\)

Áp dụng bất đẳng thức cauchy-schwarz ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow P\ge2\left(a+b+c\right)+\frac{9}{a+b+c}=a+b+c+\frac{9}{a+b+c}+a+b+c\)

Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có \(a+b+c+\frac{9}{a+b+c}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right).9}{a+b+c}}=2\sqrt{9}=6\)

Lại có \(a+b+c\ge3\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow P\ge6+3=9\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Mình muốn giao lưu với các bạn học toán qua bài chứng minh bất đẳng thức sau :v Trước khi trình bày bài toán các bạn nêu ý tưởng nhé

Chứng minh với mọi a+b+c=0 ta có

\(\frac{a^3+b^3+c^3}{3}.\frac{a^4+b^4+c^4}{4}=\frac{a^7+b^7+c^7}{7}\)

2.Giải hệ phương trình 

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+x+y=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\\\left(\frac{x}{y+1}\right)^2+\left(\frac{y}{x+1}\right)^2=1\end{cases}}\)